关键词： 教师资格证

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1) 问题教学法，是布鲁纳提出的。让学生主动发现问题解决，获取知识的教学方法。从学生的好奇，好学，好问，动手中提出在老师指导下，通过解决问题，引导学生像科学家发现定理那样发现知识， ，培养学生的观察，探讨，研究创造能力。

2) 步骤：创设问题情景，激发主动积极性；寻找问题答案，探讨解法；完善解答，总结思路；进行知识综合，改善问题结构。

3) 思考这个题目时，能够获得 a ＋ b 平方公示猜想，进一步验证。可以从几何角度面积出发证明，也可以从代数角度出发证明；发现法从多个角度解决问题，培养灵活的思

维，而灵活的思维有利于创造性。

概念的内涵和外延

1) 内涵：反映事物本质属性总和。质

2) 外延：概念反应事物的总和。量

3) 除了要理解内涵外延，还要明白两者的关系。

4) 等腰三角形的内涵比三角形多；外延少。

概念间的逻辑关系

1)相容关系：全同关系，交叉关系（等腰三角形与直角三角形），从属关系。

2) 不相容关系：矛盾关系（内涵互斥）和对立关系（反对关系，外延互斥）

定义是揭示概念内涵的逻辑方法

1) 被定义项：内涵揭示的概念

2) 定义项：确定被定义项的概念

3) 定义联项：联结两者。 “是”“称为”

1) 属加种差定义项：一个和几个本质属性叫做种差。两组平行的四边形叫平行四边形。概念＝临近属概念＋种差

2) 揭示外延定义： a 不等于 1

3) 描述性定义：直接定义

数学概念的获得方式

1) 同类事物的不同例证中，独立发现同类事物的关键特性，概念形成。

2) 直接展示定义，利用原有认知结构理解同化。概念同化。

概念教学的要求

1) 明确内涵外延和表达方式。使用合适的数学语言：符号，图形和图像。原始概念为出发点

2) 正确理解使用概念

3) 了解概念关系，形成体系

概念教学方法（教学设计材料分析题，都有优点和缺点）

1) 认知水平和数学逻辑起点要匹配互相衔接，正迁移。

2) 创设合适的问题情景。互动，学生主体

3) 自主探究要有实际，素材，发挥主导作业。

命题：简单命题和复核命题（逻辑关联词）

理解命题，运用解决问题，掌握相关联系。

命题引入：直接引入，素材引入。

证明：思路分析；多种论证；体系化系统化；数学思想方法。

判断题：命题的巩固离不开解题，越多越好。错。

1) 大量习题占用大量时间，加重负担，失去兴趣。

2) 反复演练，无暇思考总结，不利于能力提高。

3) 同一类型反复演练，思维定势，无灵活和创新。

4) 应使用自己的语言描述理解，自己给出反正例，实际应用加强理解，命题间加深关系的联系理解，形成体系。

策略：整体性策略；准备性策略（把握目标，起点，模式）；问题性策略；情景化；过程化

（理解联系关系体系） ；产生式（通过是什么为什么，来解决

怎么办）

举例说明问题解决，解决问题和解答习题

1) 已知三角形 180 ，求四边形。解答习题，四边形内画三角

2) 解决问题：求四边形内角和，学生有各种方法

3) 问题解决：学生根据四边形的方法找出规律，自己找出多边形内角和的方法，包括发现问题，探索结论，形成规律，形成结论。

推理教学：证明的工具；从已知知识推出新知识

包括前提和结论

演绎，归纳，类比推理

直接讲授和讨论/发现

1) 主动性，提出发现问题。

2) 不同思想，因材施教

3) 生成性资源，新的思想和方法。

理解函数单调性作为目标

1) 不合适，无法判断学生是否理解。

2) 给出增减函数的具体例子，能用函数单调性定义判断一个函数

三个数学题目

1) 逻辑密切联系，考虑学生的认知，循序渐进，由浅入深，由易到难，由表及里；让学生步步深入，以达到将所理解的知识灵活运用。

2) 发展 ..过程方法中的能力

3) 接着出题时：将常量变为变量，找三个变量的关系

例题设计要具有：典型性，目的性，启发性，科学性，变通性和有序性

习题：有助于理解，巩固，发展智力。目的性，及时性，层次，多样和反馈

教科书，课程标准和学生情况的三者统一

学生自己小结：培养归纳能力，表达能力，让学生在自己脑海中思考所学内容，意识到自己会什么不会什么，加深印象，又对老师提供了信息，哪些是学生不会的。

引入时：新旧知识，新知识与学生水平的衔接非常重要

教授时：

1) 引导学生发现问题，问题情景

2) 突出，重要要反复说明，针对只突出问题情景，不突出知识的材料

3) 预设要全面，针对打断预设的材料题

学生学习：善于思考，提出问题，发现问题，解决问题，学生积极性，合作意识（针对灌输式材料）

关于试题设计

1)“”包括课程内容中的要求。知识点包括。。。。。。要求全面。

2) 体现学生对数感，符号，运算，推理扥该考虑，包含“”计算，规律的应用和证明，可联系实际生活

3) 题型多样化，合理，有选择，证明，计算，解答。

4) 考虑学生学习过程，难度，区分度，掌握程度。

概念的与其他的内容关系：内部应用和外部应用。例如单调递增内部应用：定义域，大值小值等；外部，证明不等式，数列性质等的应用概念的研究方法：定义法和导数法。找相关利用概念

概念：人脑对客观事物数量关系，空间形式本质属性的反应。引入概念要恰当，明确内涵外延，表达准确，即时巩固。

数学科学内涵：数学的方法意义知识等。

讲授法：将思想贯穿其中，引导迁移分类，接受新知识解决问题发现法：学生主体，主动性积极性，发散思维

学生错误后的知道

1) 还原知识发生发展过程：算理和理解

2) 还原错原因根源，学生的思考过程，后续改进教学。

3) 认真研究学生，认知水平，学生观，此阶段的容易错误的思想是

两个老师，一个按照认知水平一步一步搭台阶，引发学生思考，一个直接让学生给出不合适学生思维水平，只发挥学生主体地位，没有发挥老师的引导地位。

严谨性与量力性结合，出了两次了。

三维目标：

1) 知识技能：理解。 。。，会使用 ..分析 / 解决 / 画出 ..

2) 过程与方法：通过 ，探索 .，发展推理能力

3) 情感态度：在合作探索中，发现数学的作用，快乐

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义务教育阶段数学目标

基本知识（概念，性质，法则，公示），技能（运算，绘图，测量），思想（建模，推理和抽象） ，活动。体会数学知识之间，数学与其他学科之间，与生活之间联系，运用思维进行思考，增加发现分析解决问题能力；了解数学价值，提高兴趣，增强学数学的信心，养成习惯，具有初步创新和实事求是的意识。

初中阶段数学目标

1) 知识技能：经历数与代数的抽象，运算建模过程，掌握代数基本知识和技能；经历图像的抽象，分类，性质探讨，运动，位置等过程，掌握几何基本知识和技能；经历实际问题的数据收集处理，分析数据，获取信息，掌握统计与概论的基本知识和技能；参与综合实践活动，积累运用数学知识解决问题的经验。

2) 数学思考：建立数感，符号意识，空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展抽象思维和形象思维；体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象；在参与观察，实验，猜想证明等活动中，发展合情推理和演绎推理，清晰表达自己想法；学会独立思考，体会基本思想的思维。

3) 问题解决：初步学会从数学的角度发现提出问题，解决问题，增强应用数学的实践意识；或份额分析解决问题的基本方法，体验多样性，发展创新意识；学会交流，初步学会评价和反思。

4) 情感态度：积极参与活动，对数学有好奇心和求知欲；学习过程中，体验成功的乐趣，锻炼克服困难的意志信心；体会数学特点价值；养成认真勤奋，独立思考，交流合作，反思质疑等学习习惯；坚持真理，修正错误，严谨求实的科学态度。

总体目标由学段目标来体现。

1) 建立数感：数量，关系，结果估算的感悟

2) 符号意识：理解用符号表示数，关系，规律；符号用于推理运算，结论具有一般性

3) 空间观念：根据物体抽象出几何，根据几何想象出物体，方位，位置，运动，依据语言画出

4) 几何直观：使用图像描述和分析问题

5) 数据分析：调查，分析数据，找到规律

6) 运算能力：根据法则和运算规律正确运算

7) 推理能力：合情推理和演绎推理。合情推理：从已知事实出发，运用经验和知觉进行归纳和类比判断；演绎推理：从已知事实和规则出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算

8) 模象思想：体会和理解数学与外部世界联系的途径：抽象数学问题，符号建立变化规律；求出结果讨论意义。

9) 应用和创新意识：有意识的运用数学，认识现实存在的大量数学问题。基本任务

初中课程内容

1) 数与代数：概念，运算，估计，字母表示，代数式，方程，方程组，不等式，函数等

2)图形与几何：几何性质，变化（轴对称，中心对称，旋转等），坐标

3) 统计与概率：是分析数据。分析过程，方法，体会随机性。

4) 综合实践：问题载体，自主参与学习

教学中关系

1) 预设与生成

2) 面向全体与差异

3) 合情与演绎推理

4) 信息技术与教学手段多样化关系

数学教学原则

1) 抽象与具体结合：感知具体形成表象，引导形成抽象思维，正确的判断，推理概念等

2) 严谨性于量力性结合：钻研教材；逐步教授；培养学生言有据，思考缜密，思路清晰的良好思维；研究学生。

3) 理论实际结合：

4) 巩固法则结合：符合数学实际，符合学生心理，新旧知识联系（清晰的逻辑联系，认知结构完整层次分明条理清楚）能力发展。

凯洛夫的组织教学

1) 组织教学：导入

2) 复习提问

3) 讲授新课

4) 巩固新课

5) 布置作业

考试中课堂包括

1) 导入

2) 新课

3) 巩固新知

4) 课堂练习

5) 反思：有什么收获

6) 布置作业

学习数学某个方面要性：科技发展，行业应用，基本素质，时代要求。

学习数学某个方面可能性：已具有运算知识，生活相关，计算机不陌生，具有一定分析 / 推理等能力。

初中数学常用的数学思想：划归与转化思想（乘法转化为加法，复杂问题转换为简单，逆

运算，已知

）；分类思想（一个标准）；数形结合思想；特殊与一般思想（类比，归纳，演绎）；有限与无限思想；随机与然思想；函数与方程思想。

推理方法：演绎（一般到特殊。由已知定理，性质推出特殊的事物），归纳（个别到一般），类比（特殊到特殊，由两个事物的某些相同属性推理出其他属性也相同）

推理能力：通过观察实验类比等获得数学信息，进一步寻求证据，给出证明或者反例，能清晰逻辑的表达自己的思考过程，言之有理；交流时能用数学语言合乎逻辑的讨论和质疑。

综合证明法：已知定理调节，推断结论。例如证明 a 和 b 平方和大于 2ab 。

尺规作图要求：直尺和圆规与现实并非完全相同，带有想象性质。直尺没有限度，无限长，没有刻度，只能连接两个点。圆规可以展开无限宽，没有刻度，只可以构造之前构造的长度。

几何研究方法：综合几何方法，解析几何方法，向量几何方法，函数方法。

综合几何方法：利用已知基本图形性质研究复杂图形性质，基本图形的转化，平移，对称的手段。

解析几何：笛卡尔、费马。由代数方法研究几何对象关系和性质，坐标几何。

向量几何：用向量来讨论空间平面和几何问题

古希腊三大问题，19 世纪被证明是不可能用尺规完成的。

1) 立方倍积问题：求做立方体的体积是已知立方体两倍的边长。

2) 化圆为方问题：圆面积＝方面积，画方

3) 三等分角

50m 围长方形，面积大的。讲解的层次。

1) 理解题目，提出策略，进行画图

2) 列举满足条件的特殊值，列表排序

3) 找规律

4) 给予验证

5) 鼓励发现和提出一般性问题，例如长宽变化不限于整数

命题引入方式

1) 观察实验

2) 观察归纳

3) 实际需要

4) 矛盾

5) 加强或者削弱条件引入

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